Goursat: Cours d'analyse mathématique

The three volume work Cours d'analyse mathématique by Edouard Goursat became one of the most famous mathematics textbooks of all time. Together with an English translation by Earle Raymond Hedrick, the book became a standard source of reference for results in analysis for many years. Originally it was a two volume work. Volume 1 appeared in French in 1902, and the English translation by Hedrick was published in 1904. Volume 2 appeared in French in 1905 and was translated in two parts by Hedrick (together with Otto Dunkel), the first appearing in 1916, the second in the following year. The French text appeared in a second edition as a three volume work, published between 1910 and 1913.

Many later editions of both the French and English texts were published. The fourth edition of Volumes 1 and 2 of the French text were published in 1924 and 1925 respectively. The third edition of Volume 3 appeared in 1923. It was these editions of the French text which were reprinted by Gauthier-Villars in 1992. We give below the contents of these (Vol 1 1924, Vol 2 1925, Vol 3 1923) editions.


Cours d'analyse mathématique Volume I

Contents: Dérivées et différentielles; Intégrales définies; Développements en séries; Applications géométriques


Chapter I - Introduction.
Limites. Ensembles. - Fonctions. Généralités.

Chapter II - Dérivées et différentielles.
Définitions. Propriétés générales. - Notation différentielle. - Fonctions définies comme limites.

Chapter III - Fonctions implicites. Maxima et minima. Changements de variables.
Fonctions implicites. - Points singuliers. Maxima et minima. - Déterminants fonctionnels. - Changements de variables.

Chapter IV - Intégrales définies.
Méthodes diverses de quadrature. - Intégrales définies. Notions géométriques qui s'y rattachent. - Changement de variables. Intégration par parties. - Extensions diverses de la notion d'intégrales. Intégrales curvilignes. - Différentiation et intégration sous le signe intégration.

Chapter V - Calcul des intégrales définies.
Intégrales indéfinies. - Calcul approché des intégrales définies. - Méthodes diverses.

Chapter VI - Intégrales doubles.
Intégrales doubles. Procédés de calcul. Formule de Green. - Changements de variables. Volumes. Aire d'une surface courbe. - Extension de la notion d'intégrale double. Intégrales de surface.

Chapter VII - Intégrales multiples. Intégration des différentielles totales.
Intégrales multiples. Changements de variables. - Intégration des différentielles totales.

Chapter VIII - Séries et produits infinis.
Régles de convergence. - Séries à termes imaginaires. Séries multiples. - Produits infinis.

Chapter IX - Séries entières. Séries trigonométriques.
Série de Taylor. Généralités. - Séries entières à une variable. - Séries entières à plusieurs variables. - Fonctions implicites. Courbes et surfaces analytiques. - Séries trigonométriques. Séries de polynomes.

Chapter X - Théorie des enveloppes. Contact.
Courbes et surfaces enveloppes. - Contact de deux courbes, d'une courbe et d'une surface.

Chapter XI - Courbes gauches.
Plan osculateur. - Courbure et torsion. Développées. - Notions sur les systèmes de droites.

Chapter XII - Surfaces.
Courbure des courbes tracées sur une surface. - Lignes asymptotiques. Lignes de courbure. - Correspondance entre les points de deux surfaces.

Note: Sur les formules de différentiation des intégrales définies.

Cours d'analyse mathématique Volume II

Contents: Théorie des fonctions analytiques; Equations différentielles; Equations aux dérivées partielles du premier ordre


Chapter XIII - Fonctions élémentaires d'une variable complexe.
Généralités. Fonctions monogènes. - Séries entières à termes imaginaires. Transcendantes élémentaires. - Transformations conformes du plan.

Chapter XIV - Théorie générale des fonctions analytiques d'après Cauchy.
Intégrales définies prises entre des limites imaginaires. - Intégrale de Cauchy. Séries de Taylor et de Laurent. Points singuliers. Résidus. - Application des théorèmes généraux. - Périodes des intégrales définies.

Chapter XV - Fonctions uniformes.
Facteurs primaires de Weierstrass. Théorème de Mittag-Leffler. - Fonctions doublement périodiques. Fonctions elliptiques. - Inversion. Courbes du premier genre.

Chapter XVI - Le prolongement analytique.
Définition d'une fonction analytique par un de ses éléments. - Méthodes diverses de prolongement analytique. - Espaces lacunaires. Coupures.

Chapter XVII - Fonctions analytiques de plusieurs variables.
Propriétés générales. - Fonctions implicites. Fonctions algébriques.

Chapter XVIII - Equations différentielles. Méthodes élémentaires d'intégration.
Formation des équations différentielles. - Equations du premier ordre. - Equations d'ordre supérieur.

Chapter XIX - Théorèmes d'existence.
Calcul des limites. - Méthode des approximations successives. Méthode de Cauchy-Lipschitz. - Intégrales premières. Multiplicateur. - Transformations infinitésimales.

Chapter XX - Equations différentielles linéaires.
Propriétés générales. Systèmes fondamentaux. - Etude de quelques équations particulières. - Intégrales régulières. Equations à coefficients périodiques. - Systèmes d'équations linéaires.

Chapter XXI - Equations différentielles non linéaires.
Valeurs initiales exceptionnelles. - Etude de quelques équations du premier ordre. - Intégrales singulières.

Chapter XXII - Equations aux dérivées partielles du premier ordre.
Equations linéaires du premier ordre. - Equations aux différentielles totales. - Equations du premier ordre à trois variables. - Equations simultanées. - Généralités sur les équations d'ordre supérieur.

Cours d'analyse mathématique Volume III

Contents: Intégrales infiniment voisines; Equations aux dérivées partielles du second ordre; Equations intégrales; Calcul des variations


Chapter XXIII - Intégrales infiniment voisines.
Equations aux variations. - Solutions périodiques et asymptotiques. Stabilité.

Chapter XXIV - Equations de Monge-Ampère.
Caractéristiques. Intégrales intermédiaires. - Méthode de Laplace. Classification des équations linéaires.

Chapter XXV - Equations linéaires à n variables.
Classification des équations à n variables. - Applications à quelques exemples.

Chapter XXVI - Equations linéaires du type hyperbolique.
Etude de quelques problèmes relatifs à l'équation s = f (x, y). - Approximations successives. Méthode de Riemann. - Equations à plus de deux variables.

Chapter XXVII - Equations linéaires du type elliptique.
Fonctions harmoniques. Intégrale de Poisson. - Problème de Dirichlet. Fonction de Green. - Equation générale du type elliptique.

Chapter XXVIII - Fonctions harmoniques de trois variables.
Problème de Dirichlet dans l'espace. - Potentiel newtonien.

Chapter XXIX - Equation de la chaleur.

Chapter XXX - Résolution des équations intégrales par approximations successives.
Equations intégrales linéaires à limites variables. - Equations intégrales linéaires à limites fixes.

Chapter XXXI - L'équation de Fredholm.
Les théorèmes de Fredholm. - Etude du noyau résolvant.

Chapter XXXII - Les fonctions fondamentales.

Chapter XXXIII - Applications des équations intégrales.
Applications aux équations différentielles. - Applications aux équations aux dérivées partielles.

Chapter XXXIV - Calcul des variations.
Première variation. Extrémales. - Seconde variation. Conditions nécessaires pour l'extrémum. - Champs d'extrémales. Conditions suffisantes. - Théorie de Weierstrass. Solutions discontinues.

Note: Sur la représentation conforme.


JOC/EFR August 2006

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